Топология Гротендика

[anhinga_anhinga]

Обычно пучки над топологиями Гротендика излагают довольно сложно, привлекая расслоенные произведения и уравнители, и это хорошо только для довольно узкого круга людей, у которых есть соответствующая интуиция.

Оказывается, это можно сделать гораздо проще, так что конструкцию может понять любой человек, немного знакомый с теорией категорий, без всяких расслоенных произведений и уравнителей. Я отсканировал несколько страниц, которые объясняют как это делается -- может быть, это кому-нибудь пригодится.

Ещё одно замечание в связи со всем этим состоит в том, что стрелки в любой категории можно понимать не только как абстракцию понятия функции, но и как абстракцию понятия аппроксимации, и такой способ думать может быть полезен в разных ситуациях.

Из русского перевода книги "Topos Theory" by P.T.Johnstone, 1977, стр. 32-35 (хороший вариант изложен между зелёными маркировками):







Определение пучка на стр.34 особенно естественно выглядит в свете биекции, про которую говорит Yoneda Lemma. Для удобства, фрагмент страниц 7-8 из книги "Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi" by Oswald Wyler, объясняющий эту биекцию:

Comments

[spamsink]

Первую картинку не видно.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Как это, однако, неудобно, что fotki.com меняют адреса оригиналов..

Починил, но оно может опять сломаться..

На всякий случай:

http://public.fotki.com/Anhinga/math-pages/

[algebraic-brain.livejournal.com]

>> Ещё одно замечание в связи со всем этим состоит в том, что стрелки в любой категории можно понимать не только как абстракцию понятия функции, но и как абстракцию понятия аппроксимации, и такой способ думать может быть полезен в разных ситуациях.

А можно об этом чуть подробнее? Стрелка из А в Б значит "А аппроксимирует Б"? А если несколько стрелок? И в каком точном смысле аппроксимация? Теория доменов Скотта? (я ее не понимаю, а Вы, кажется, с ней работаете) Спасибо.

[algebraic-brain.livejournal.com]

Вопрос "в каком точном смысле аппроксимация?" беру назад. :) Думаю, что просто в топологическом.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Да, когда мы думаем об обычных пучках над топологическим пространством, то категория, о которой идёт речь, -- это категория, объектами которой являются открытые множества данной топологии, а объекты A и B соединяются стрелкой тогда и только тогда, когда A -- подмножество B (т.е. речь идёт об интерпретации частичного порядка как категории).

Топология Гротендика обобщает эту ситуацию (категорию открытых множеств и их вложений). Предпучки можно определять над произвольной категорией, а топология Гротендика даёт возможность говорить о пучках над произвольной категорией.

Если мы пытаемся думать про стрелки, как про аппроксимации, то, если есть несколько стрелок между A и B, это значит, что A "аппроксимирует" B несколькими разными способами (что выходит за рамки формализмов аппроксимации, основанных на частичных порядках, включая формализм доменов Скотта, где стрелка между двумя данными объектами всегда не более, чем одна).

Премного благодарен.

[nagval-b.livejournal.com]

Как приятно наткнуться порой на то, в чём ни шиша не понимаешь. Немного сбивает спесь. Напоминает, насколько мы подобны флюсам, пусть и в разных областях.
А на журнал Ваш вышел по ссылке на Александра Аркадьевича. Мне его тоже не хватает среди живых.

Re: Премного благодарен.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Здравствуйте :-)

Re: Премного благодарен.

[nagval-b.livejournal.com]

Доброе утро, вечер,ночь... Поможет ли это что превозмочь?, Познать, проявить, удар отклонить?, но "здравствуйте" - соединяет, как нить.