Anhinga anhinga

Math question:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_%28order_theory%29#History

"Ideals were introduced first by Marshall H. Stone, who derived their name
from the ring ideals of abstract algebra. He adopted this terminology
because, using the isomorphism of the categories of Boolean algebras and of
Boolean rings, both notions do indeed coincide."

For these ideals we have a dual notion -- filters. Can one pull that
duality back to ring and algebra ideals?

*****

soyka62 has a great collection of pictures. This one is presumably Yves Decoste:

http://soyka62.livejournal.com/490480.html

Some of the more recent posts:

http://soyka62.livejournal.com/576406.html
http://soyka62.livejournal.com/547444.html

I wonder what happens if school kids study graph theory before geometry.

Was this tried?

Ray Solomonoff died 3 weeks ago in Cambridge. Among other things, he was the first person who discovered what we now call Kolmogorov complexity. Очень необычный человек, даже визуально, он был весь светящийся, в полном соответствии со своим именем, как на фотографии на своем сайте. ( via )

Lattices vs. categories. Ретах опубликовал короткие воспоминания об И.М.Гельфанде, которые заканчиваются описанием того, как Гельфанд читал доклад о теории решёток на заседании пямяти Бирхгофа в Гарварде во время знаменитой первоапрельской метели в 1997-ом году. Ретах говорит, что после доклада Гельфанд сказал ему: "А знаете почему я согласился выступить? Бирхгоф тут не при чем, надо искать замену теории категорий, слишком она жесткая. Может быть, решетки подойдут". ( Read more... )

Witten and Feynman integrals. Интересное обсуждение с центральной идеей, что деятельность Witten'а основывается не на физической интуиции, а на интуиции фейнмановских интегралов (если это так, то это проливает довольно много света на то, что там происходит): ( Read more... )

I'll be happy to translate Russian parts into English upon request (in comments).

Assume consistency of (Peano) arithmetic. Add the negation of a statement expressing its consistency to this arithmetic, the result should still be consistent. Then translate the resulting logic into a first-order logic. By the compactness theorem, the resulting logic has a model.

Are there any interesting models resulting from this? Are there any models, which would illuminate the nature of the resulting logic? Or, are there any such models which are easily understood?

Обычно пучки над топологиями Гротендика излагают довольно сложно, привлекая расслоенные произведения и уравнители, и это хорошо только для довольно узкого круга людей, у которых есть соответствующая интуиция.

Оказывается, это можно сделать гораздо проще, так что конструкцию может понять любой человек, немного знакомый с теорией категорий, без всяких расслоенных произведений и уравнителей. Я отсканировал несколько страниц, которые объясняют как это делается -- может быть, это кому-нибудь пригодится.

Ещё одно замечание в связи со всем этим состоит в том, что стрелки в любой категории можно понимать не только как абстракцию понятия функции, но и как абстракцию понятия аппроксимации, и такой способ думать может быть полезен в разных ситуациях. ( scans (800px wide, 500KB) )

Cool Japan 2007 (MIT-Harvard), Feb.28-Mar.3 ( Read more... )

Tutorials on forcing ( Read more... )

Update: A small piece of the "forcing story": Skolem's paradox -- a powerset of a countable set is uncountable, so the existence of a countable model of formal set theory seems to yield a paradox.

What happens when a guy refuses to accept his Fields medal? The press does not even mention the names of other Fields winners, as if the refusal is the news, and not the achievement. The most one gets from Washington Post is "three other mathematicians -- another Russian, a Frenchman and an Australian -- also won Fields honors this year".

The people, who received their Fields medals, are Andrei Okounkov, Terence Tao, and Wendelin Werner.

I only knew Fréchet as a mathematician, who came up with the notion of derivative in normed vector spaces, which made sense to me. It turnes out that he is behind a number of fundamental definitions we are using today.

Maurice Fréchet introduced metric spaces in his work Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74.

The term compact was introduced by Fréchet in 1906.

Biography: Maurice René Fréchet

http://citeseer.ist.psu.edu/481412.html

by Steven Vickers

"Last year I wrote a short article "Toposes pour les nuls", with the aim of explaining toposes (and in particular their nature as generalized topological spaces) to those who knew nothing about them. Unfortunately, it seems that I was unsuccessful at this aim, for when I presented the material at a seminar I was told that I should write another article per les vraiment nuls. This is intended to be it."

Была бы полезна ещё одна итерация, "топосы для абсолютных нулей" :-) Тем ни менее, здесь всего 12 страниц, и категории появляются только в самом конце..